Родился в Нью-Йорке в семье евреев из Венгрии. В качестве рядового воевал на фронтах обеих мировых войн. С 1920 г. трудился в театрах Бродвея, в 1928 г. перебрался в Голливуд. В 1930-е гг. работал под началом знаменитого продюсера Дэвида Селзника над экранизациями европейской классики (включая «Дэвида Копперфильда»). По замыслу Селзника, именно Кьюкор должен был снять киноверсию «Унесенных ветром», однако незадолго до начала съемок он вышел из проекта. Кьюкор был известен добросовестной работой с актерами. Ему принадлежит в этом отношении любопытный рекорд: трое актеров за фильмы Кьюкора были удостоены «Оскара» за главную мужскую роль. За «Газовый свет» получила свой «Оскар» легендарная Ингрид Бергман. На рубеже 1940-х и 1950-х он снял четыре фильма с актрисой Джуди Холидей, которая за один из них также удостоилась «Оскара». У Кьюкора сыграла свою первую роль 4-кратная обладательница «Оскара» Кэтрин Хепберн, а Грета Гарбо — свою прощальную роль. Предпоследняя работа Кьюкора в кино принесла ему опыт сотрудничества с советскими кинематографистами: на волне разрядки, совместно студиями 20th Century Fox и «Ленфильм» был снят фильм-сказка «Синяя птица» по одноименной пьесе Мориса Метерлинка. За пределами съемочной площадки Кьюкор был известен как бонвиван. Регулярные вечеринки на его вилле собирали множество голливудских знаменитостей. Женщинами он не интересовался, жил с молодыми мужчинами. Однажды его даже арестовали за «непристойное поведение», однако благодаря вмешательству голливудских воротил дело удалось быстро замять. Кьюкор умер от сердечного приступа 24 января 1983 г. и был похоронен на «звездном» кладбище Глендейла. Оставил после себя состояние в несколько миллионов долларов.