Родился 21 декабря 1899 г. (ст. ст.) в г. Выборге в купеческой семье. Еще будучи 10-летним мальчиком прислуживал на архиерейских службах архиепископа Финляндского Сергия (Страгородского) (впоследствии Патриарх Московский и всея Руси). Среднее образование получил в Выборгском реальном училище, после этого поступил в Петербургский Технологический институт, но, не закончив, эмигрировал во Францию. В 1925 г. был принят в число слушателей Свято-Сергиевского православного богословского института в Париже. В 1928 г. за свое кандидатское сочинение он был удостоен звания кандидата богословия I степени и в качестве профессорского стипендиата по Ветхому Завету и еврейскому языку и направлен в Оксфордский университет для продолжения образования и для усовершенствования в еврейском языке. В 1931 г. был удостоен звания бакалавра литературы Оксфордского университета за свою работу «Эсхатология книги Иова». Осенью 1931 г. возвратился в Париж и получил место доцента по кафедре Ветхого Завета и еврейского языка в Свято-Сергиевском институте, где и работал в течение восьми лет.
В 1936 г. он представил свои «Тезисы по Священному Писанию Ветхого Завета» на I Конгресс православных богословов в Афинах. Этот краткий, но весьма насыщенный и важный документ содержал 6 пунктов, в которых были намечены контуры необходимых преобразований в православной герменевтике. Суть этих тезисов сводится к следующему:

1) Православная исагогика и экзегетика еще не дали своей разработки проблем Ветхого Завета, поставленных современной наукой.

2) Традиция святоотеческой экзегезы не пришла к общеобязательному для Церкви единому решению исагогических проблем. Решать их можно не только с консервативных позиций, но и с учетом данных историко-литературной критики и других видов критики библейской.

3) Используя данные высшей критики, православная библеистика должна оставаться верной Преданию Церкви в целом, не возводя автоматически различных мнений патристической эпохи в степень догматически безусловную.

4) Буквальное понимание боговдохновенности Священного Писания, отказ от методов сравнительно-религиозного изучения Ветхого Завета есть достояние не православия, а иудейского и консервативно-протестантского богословия.

5) Православная библеистика должна отстаивать единство Библии и «вскрывать несостоятельность современных “маркионистических” взглядов на Ветхий Завет».

6) Желательно создание общеправославного Библейского и Археологического института в Иерусалиме («Путь», 1936–37, № 52).

В 1939 г. война вынудила Б. И. Сове задержаться в Финляндии. Он поступил на работу в университетскую библиотеку в Хельсинки, на должность библиотекаря славянского отдела, которую он занимал до самой своей смерти. Работал над большим трудом «Исторический очерк исправления богослужебных книг в России», которой так и не удалось издать, хотя он был готов к печати. В рукописях сохранились и другие труды Б. И. Сове: «История гимнографии в Русской Церкви», «История литургической науки в России», «Русский Гоар» и др. С 1952 г. состоял членом комиссии по исправлению, переводу на финский язык и изданию богослужебных книг Финляндской Православной Церкви. В 1961 г. тяжелая глазная болезнь потребовала серьезной операции, что заставило Бориса Ивановича приостановить на время эту работу. Скончался 15 августа 1962 г. в Хельсинки от болезни сердца.